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【損保数理】エクセス方式

損保数理

損害保険では、損害の一部を被保険者に自己負担させる引き受けがよく行われます。今回はその中で、エクセス方式について説明します。

エクセス方式では、免責金額（エクセスポイント） $\alpha$ と支払限度額（カバーリミット） $\beta$ を設定します。

これは、クレーム額が免責金額以下だと保険金が支払われず、クレーム額が免責金額より大きくなると、支払限度額を上限に保険金が支払われることを意味します。

式に表すと次の通りです。

クレーム額を $x$ とする。

$0 \leqq x \leqq \alpha$ のとき、　　保険金支払額なし

$\alpha \leqq x \leqq \alpha+\beta$ のとき、保険金支払額 $x-\alpha$

$\alpha+\beta \leqq x$ のとき、　　保険金支払額 $\beta$

例えば、免責金額 $1$ 億円、支払限度額 $2$ 億円のとき、

クレーム額が $0.5$ 億円のとき、保険金は支払われません。

クレーム額が $2$ 億円のとき、保険金支払額は $2-1=1$ 億円です。

クレーム額が $5$ 億円のとき、保険金支払額は $2$ 億円です。

それでは、エクセス方式を導入したときの、保険金支払額の期待値を求めてみましょう。ここでは、保険金支払額 $X$ の確率密度関数を $f_X (x)$ とします。

$0 \leqq x \leqq \alpha$ のときは、保険金支払額は $0$ なので、期待値は、

$\displaystyle{\int_{0}^{\alpha} 0 \cdot f_X (x) dx=0}$

となります。

$\alpha \leqq x \leqq \alpha+\beta$ のときは、保険金支払額は $x-\alpha$ なので、期待値は、

$\displaystyle{\int_{\alpha}^{\alpha + \beta} (x-\alpha)f_X (x) dx}$

となります。

$\alpha+\beta \leqq x$ のときは、保険金支払額は $\beta$ なので、期待値は、

$\displaystyle{\int_{\alpha + \beta}^{\infty} \beta f_X (x) dx}$

となります。

以上より、エクセス方式を導入したときの保険金支払額の期待値は、

$\displaystyle{ 0+\int_{\alpha}^{\alpha + \beta} (x-\alpha)f_X (x) dx+ \int_{\alpha + \beta}^{\infty} \beta f_X (x) dx=\int_{\alpha}^{\infty} \min\{x-\alpha, \beta\}f_X (x) dx}$

と表されることが分かります。

エクセス方式の保険金支払額の期待値 $\displaystyle{\int_{\alpha}^{\infty} \min\{x-\alpha, \beta\}f_X (x) dx}$