のんびりアクチュアリー勉強日記

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【損保数理】2021　問題１　Ⅲ

問題

Lundbergモデルにおいて、期首サープラスはu_0、クレーム件数は平均10のポアソン分布、個々のクレーム額の分布の確率密度関数は\displaystyle{f(x)=\frac{4}{\Gamma (3.5)} e^{-4x} (4x)^{2.5} (x \geq 0)}に従うとき、Lundbergの不等式は、期首サープラスu_0、破産確率\epsilon (u_0)、調整係数Rを用いて下式のとおり表される。
\epsilon(u_0) \lt e^{-Ru_0}
また、期間[0,t]で受け取る収入保険料総額は、当該期間でのクレーム累計額の期待値\mu_tに安全割増率\thetaを考慮したP_t=(1+\theta)\mu_tにて表されることとする。
u_0=8のとき、Lundbergの不等式を用いて保険会社にとって最も保守的に評価した破産確率をe^{-2}まで許容することとした場合、必要な安全割増率\thetaを求めよ。

 

ガンマ分布の期待値、積率母関数X \sim \Gamma(\alpha, \beta)のとき、 \displaystyle{E(X)=\frac{\alpha}{\beta}\\ M_X(t)=\left (\frac{\beta}{\beta-t} \right)^{\alpha}}
調整係数が満たす方程式（クレーム総額が複合ポアソン分布に従うとき） M_X(r)=1+(1+\theta)E(X)r

 

解答

Lundbergの不等式を用いて保険会社にとって最も保守的に評価した破産確率をe^{-2}まで許容するので、

e^{-Ru_0}=e^{-2}

u_0=8より、

e^{-R \cdot 8}=e^{-2} \\ 8R=2 \\ R=0.25

 

ここで、クレーム総額は複合ポアソン分布に従うから、調整係数Rが満たすべき方程式はM_X(R)=1+(1+\theta) E(X) Rとなる。

X \sim \Gamma(3.5,4)より、\displaystyle{M_X(R)=\left(\frac{4}{4-R} \right)^{3.5}, E(X)=\frac{3.5}{4}=0.875}だから、

\displaystyle{\left(\frac{4}{4-0.25} \right)^{3.5}=1+(1+\theta) \cdot 0.875 \cdot 0.25 \\ \theta=0.16}