【損保数理】クレーム総額分布 - のんびりアクチュアリー勉強日記

一定期間内に発生するクレーム件数を確率変数 $N$ 、そのうち、 $i$ 番目のクレームのクレーム額を確率変数 $X_i (i=1,2,・・・.N$ と表すと、一定期間内のクレーム総額を表す確率変数 $S$ は、

$S=X_1+X_2+・・・+X_N$

となります。このとき、 $S$ の期待値、分散、積率母関数はどのようになるでしょうか。

話を簡単にするために、以下のような仮定を置きましょう。

①　 $X_1,X_2,・・・,X_N$ は、同一の分布に従う。

②　 $N,X_1,X_2,・・・,X_N$ は、互いに独立である。

それでは、期待値を求めてみましょう。以下の公式を使います。

期待値と条件付き期待値の関係 $E(S)=E_N(E_S(S|N))$

これより、

$E(S)=E_N(E_S(S|N))=E_N(N \cdot E(X))=E(N)E(X)$

ただし、2つ目の等号では、仮定を利用して式変形をしています。

次に、分散を求めてみましょう。以下の公式を使います。

分散と条件付き分散の関係 $V(S)=E_N(V_S(S|N))+V_N(E_S(S|N)$

これより、

$V(S)=E_N(V_S(S|N))+V_N(E_S(S|N)\\=E_N(N \cdot V(X))+V_N(N \cdot E(X))\\=E(N)V(X)+V(N)E(X)^2$

ただし、2つ目の等号では、仮定を利用して式変形をしています。

最後に、積率母関数を求めてみましょう。期待値と条件付き期待値の関係を使って、

$M_S(t)=E(e^{tS})\\=E_N(E(e^{tS}))\\=E_N(M_X(t)^N)\\=E_N(\exp (N \cdot \log M_X(t)))\\=M_N(\log M_X(t))$

以上の３つをまとめると、

クレーム総額分布 $E(S)=E(N)E(X)\\V(S)=E(N)V(X)+V(N)E(X)^2\\M_S(t)=M_N(\log M_X(t))$