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【数学】2022　大問１　⑸

問題

未知の母数 $\theta$ を含む以下の確率密度関数 $f(x;\theta)$ を考える。

$f(x;\theta)=\dfrac{1}{6}\exp\left(-\left|\dfrac{x}{3}-\theta\right|\right)$

いま、この分布を母集団分布とする母集団から標本 $X_1,X_2$ を抽出した。

⑴統計量 $S$ は、定数 $\alpha$ を用いて、 $\alpha X_1+\dfrac{1}{4} X_2$ の形で表される $\theta$ の不偏推定量である。このとき、 $\alpha$ の値を求めよ。

⑵統計量 $T$ は、定数 $\beta_1,\beta_2$ を用いて $\beta_1 X_1+\beta_2 X_2$ の形で表される $\theta$ の不偏推定量のうち最も有効な推定量である。このとき、 $\beta_1,\beta_2$ を求めよ。

公式

$X \sim Laplace(\mu,b)$ のとき、

$f(x;\theta)=\dfrac{1}{2b} \exp \left(-\dfrac{1}{b} \left|x-\mu \right| \right)$

$E(X)=\mu,V(X)=2b^2$

解答

$X_1,X_2 \sim Laplace(3\theta,3)$ より、 $E(X_1)=E(X_2)=3\theta$

⑴

統計量 $S$ が $\theta$ の不偏推定量より、

$E\left(\alpha X_1+\dfrac{1}{4} X_2\right)=\theta$

ここで、

$E\left(\alpha X_1+\dfrac{1}{4} X_2\right)$

$=E(\alpha X_1)+E\left(\dfrac{1}{4} X_2\right)$

$=\alpha E(X_1)+\dfrac{1}{4} E(X_2)$

$=\alpha \cdot 3\theta +\dfrac{1}{4} \cdot 3\theta$

$=\left(3\alpha +\dfrac{3}{4}\right)\theta$

よって、 $3\alpha+\dfrac{3}{4}=1$

$\alpha=\dfrac{1}{12}$

⑵

統計量 $T$ が $\theta$ の不偏推定量より、

$E\left(\beta_1 X_1+\beta_2 X_2\right)=\theta$

ここで、

$E\left(\beta_1 X_1+\beta_2 X_2\right)$

$=E(\beta_1 X_1)+E\left(\beta_2 X_2\right)$

$=\beta_1 E(X_1)+\beta_2 E(X_2)$

$=\beta_1 \cdot 3\theta +\beta_2 \cdot 3\theta$

$=(3\beta_1+3\beta_2)\theta$

よって、

$3\beta_1+3\beta_2=1$

$\beta_1+\beta_2=\dfrac{1}{3}$

また、統計量 $T$ は、 $\theta$ の不偏推定量のうち最も有効な推定量より、 $\beta_1+\beta_2=\dfrac{1}{3}$ の条件の下で、 $T$ の分散が最小となる。

ここで、 $X_1,X_2$ は独立より、

$V(\beta_1 X_1+\beta_2 X_2)$

$=V(\beta_1 X_1)+V(\beta_2 X_2)$

$=\beta_1^2 V(X_1)+\beta_2^2 V(X_2)$

$=\beta_1^2 \cdot 18+\beta_2^2 \cdot 18$

$=18(\beta_1^2+\beta_2^2)$

$\beta_1+\beta_2=\dfrac{1}{3}$ の条件の下で、これが最小となるのは、 $\beta_1=\beta_2=\dfrac{1}{6}$ のとき。