【損保数理】クレーム総額の分布関数の計算　移動ガンマ分布近似

クレーム総額の分布関数の計算のより一般的な方法として、ガンマ分布に近似させる方法があります。

$G(x:\alpha,\beta)$ を、パラメータ $\alpha, \beta$ を持つガンマ分布の分布関数としましょう。

$\displaystyle{G(x:\alpha, \beta)=\int_{0}^{x} \frac{{\beta}^{\alpha}} {\Gamma(\alpha)} t^{\alpha} e^{-\beta t}dt}$

ここで、このガンマ分布を $x_0$ だけ正の方向に移動させた分布関数 $G(x-x_0:\alpha, \beta)$ を考え、これを移動ガンマ分布と言います。

クレーム総額 $S$ を移動ガンマ分布で近似するとき、 $E(S),V(S)$ , $E(\{S-E(S)\}^3)$ が移動ガンマ分布の期待値、分散、3次積率と等しいとして近似します。

公式としてまとめると次の通りとなります。

移動ガンマ分布近似 $\displaystyle{E(S)=x_0+\frac{\alpha}{\beta} \\V(S)=\frac{\alpha}{{\beta}^2} \\ E(\{S-E(S)\}^3)=\frac{2\alpha}{\beta}}$

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